Ensembles finis Exemples

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ et dont la somme est $b = 21$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 u$ .

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $21$ comme $9$ plus $12$

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $3 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 u + 1$ égal à $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 u = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{3}$

Étape 5

Définissez $9 u + 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $9 u + 4$ égal à $0$ .

$9 u + 4 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $9 u + 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$9 u = - 4$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 u = - 4$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 u = - 4$ par $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 4}{9}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{4}{9}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 9.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 9.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 9.2.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 9.2.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 9.2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.2.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 9.2.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 9.2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 9.2.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9.2.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- \frac{4}{9}$ comme ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i}{3}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Étape 12

La solution à $27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ est $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ .

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$